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Nombres rationnels, irrationnels et racines carrées
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Nombres rationnels, irrationnels et racines carrées
Nombres rationnels, irrationnels et racines carrées
Study
1
Question
Comment caractériser un nombre rationnel par son écriture fractionnaire ?
Page 2
Answer
Un nombre rationnel s’écrit sous la forme \(\frac{a}{b}\), où \(a\) est un entier relatif et \(b\) un entier relatif non nul.
2
Question
Comment distinguer un nombre rationnel décimal d’un rationnel non décimal ?
Page 2
Answer
Un rationnel décimal possède une écriture décimale terminée, tandis qu’un rationnel non décimal possède une écriture décimale illimitée et périodique.
3
Question
Quelle propriété caractérise l’écriture décimale d’un nombre irrationnel ?
Page 2
Answer
Sa partie décimale est illimitée et non périodique.
4
Question
Comment les nombres rationnels et irrationnels forment-ils les nombres réels ?
Page 2
Answer
L’ensemble des nombres rationnels et l’ensemble des nombres irrationnels forment ensemble l’ensemble des nombres réels. Tout nombre réel est soit rationnel, soit irrationnel.
5
Question
Quelles sont les solutions de \(x^2=a\) selon le signe du réel \(a\) ?
Page 3
Answer
Si \(a<0\), il n’y a aucune solution réelle. Si \(a=0\), l’unique solution est \(x=0\). Si \(a>0\), les deux solutions sont \(x=-\sqrt a\) et \(x=\sqrt a\).
6
Question
Pourquoi \(\frac{19}{8}\) est-il un nombre rationnel décimal ?
Page 2
Answer
Parce que la division \(19\div 8\) se termine et donne \(2,375\), avec un nombre limité de chiffres après la virgule.
7
Question
Pourquoi \(\frac{19}{3}\) est-il un rationnel non décimal ?
Page 2
Answer
Parce que son écriture décimale est \(6,333\ldots\), avec une infinité de chiffres et une période constituée du chiffre \(3\).
8
Question
Quelle période possède l’écriture décimale de \(\frac{2513}{990}\) ?
Page 2
Answer
Son écriture décimale est \(2,5383838\ldots\), de période \(38\).
9
Question
Comment transformer un entier relatif en écriture fractionnaire rationnelle ?
Page 2
Answer
On l’écrit comme une fraction de dénominateur \(1\), par exemple \(3=\frac31\) et \(-3=\frac{-3}{1}\).
10
Question
Comment transformer un nombre décimal en fraction rationnelle ?
Page 2
Answer
On peut l’écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de dix, par exemple \(3,75=\frac{375}{100}\).
11
Question
Comment modifier les signes d’une fraction sans changer sa valeur ?
Page 2
Answer
Pour \(b\ne0\), on a \(\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}=-\frac ab\) et \(\frac{-a}{-b}=\frac ab\).
12
Question
Comment insérer un nombre rationnel entre deux rationnels \(p\) et \(q\) tels que \(p<q\) ?
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Answer
Il faut trouver un rationnel \(r\) vérifiant simultanément \(p<r<q\).
13
Question
Comment insérer un rationnel entre \(\frac38\) et \(\frac7{12}\) ?
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Answer
On met les fractions au même dénominateur : \(\frac38=\frac9{24}\) et \(\frac7{12}=\frac{14}{24}\). Un choix possible est \(r=\frac{11}{24}\), ou \(r=\frac{12}{24}=0,5\).
14
Question
Pourquoi \(\frac{11}{24}\) et \(\frac{13}{24}\) conviennent-ils entre \(\frac5{12}\) et \(\frac7{12}\) ?
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Answer
La condition devient \(\frac{10}{24}<r<\frac{14}{24}\). Les numérateurs \(11\) et \(13\) sont compris entre \(10\) et \(14\), et les deux fractions sont irréductibles.
15
Question
Quelles sont les racines carrées de \(a\) lorsque \(a>0\) ?
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Answer
Les deux racines carrées de \(a\) sont \(-\sqrt a\) et \(+\sqrt a\). Elles vérifient \((-\sqrt a)^2=(+\sqrt a)^2=a\).
16
Question
Comment résoudre l’équation \((x-1)^2=-3\) dans les réels ?
Page 5
Answer
Elle n’a pas de solution réelle, car un carré ne peut pas être égal au nombre négatif \(-3\).
17
Question
Comment résoudre l’équation \((x-1)^2=0\) ?
Page 5
Answer
Elle admet une seule solution : \(x-1=0\), donc \(x=1\).
18
Question
Comment résoudre l’équation \((x-1)^2=3\) ?
Page 5
Answer
Comme \(3>0\), on obtient \(x-1=-\sqrt3\) ou \(x-1=\sqrt3\). Les solutions sont donc \(x=1-\sqrt3\) et \(x=1+\sqrt3\).
19
Question
Quelle valeur décimale une calculatrice affiche-t-elle pour \(\sqrt7\) ?
Page 3
Answer
Elle affiche \(2,645751\ldots\), un développement décimal illimité et non périodique.
20
Question
Comment encadrer \(\sqrt7\) au millième près ?
Page 3
Answer
On obtient \(2,645<\sqrt7<2,646\).
21
Question
Quelle est la valeur approchée par défaut de \(\sqrt7\) au centième près ?
Page 3
Answer
La valeur approchée par défaut est \(2,64\).
22
Question
Quelle est la valeur approchée par excès de \(\sqrt7\) au centième près ?
Page 3
Answer
La valeur approchée par excès est \(2,65\).
23
Question
Quelle règle permet d’arrondir un nombre à un rang donné ?
Page 3
Answer
Si le chiffre suivant est \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) ou \(4\), l’arrondi est la valeur approchée par défaut. S’il est \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) ou \(9\), l’arrondi est la valeur approchée par excès.
24
Question
Quel est l’arrondi de \(\sqrt7\) à \(10^{-3}\) près ?
Page 3
Answer
On a \(\sqrt7\approx2,646\) à \(10^{-3}\) près.
25
Question
Comment comparer plusieurs rationnels ayant le même dénominateur positif ?
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Answer
Il suffit de comparer leurs numérateurs : le plus petit numérateur donne le plus petit rationnel.
26
Question
Quelle forme commune permet de comparer les six rationnels de l’exemple ?
Page 4
Answer
Ils sont tous transformés en fractions de dénominateur \(40\) : \(-\frac{24}{40}\), \(-\frac{18}{40}\), \(-\frac{15}{40}\), \(\frac{10}{40}\), \(\frac{12}{40}\) et \(\frac{25}{40}\).
27
Question
Quel est l’ordre croissant des nombres \(a,b,c,d,e,f\) de l’exemple ?
Page 4
Answer
L’ordre croissant est \(c<e<a<d<b<f\).
28
Question
Quelles sont les écritures décimales des nombres \(a,b,c,d,e,f\) de l’exemple ?
Page 4
Answer
On obtient \(a=-0,375\), \(b=0,3\), \(c=-0,6\), \(d=0,25\), \(e=-0,45\) et \(f=0,625\).
29
Question
Comment convertir le nombre périodique \(x=2,\overline{54}\) en fraction ?
Page 4
Answer
On écrit \(100x-x=252\), donc \(99x=252\). Ainsi, \(x=\frac{252}{99}=\frac{28}{11}\).
30
Question
Pourquoi soustrait-on \(x\) à \(100x\) pour convertir \(2,\overline{54}\) ?
Page 4
Answer
La multiplication par \(100\) décale exactement la période de deux chiffres. La soustraction élimine alors la partie périodique et donne \(100x-x=252\).