/
Lineær algebra grundbegreber
Save to my account
Sign up
Lineær algebra grundbegreber
Lineær algebra grundbegreber
Study
1
Question
Hvilke størrelser skal matricerne A og B have for at produktet AB er defineret?
Page 1
Answer
Antal kolonner i A skal være lig med antal rækker i B. Lille eksempel: 3×2-matrix gange to-dimensionelt vektor.
2
Question
Gælder altid AB = BA hvis A og B er n×n-matricer?
Page 1
Answer
Nej, oftest ikke!
3
Question
Hvad sker når man multiplicerer matricen A fra venstre eller højre med identitetsmatricen I af passende størrelse?
Page 1
Answer
Ingenting, man får bare igen A (AI = IA = A).
4
Question
Hvor mange løsninger kan et lineært ligningssystem Ax = b i princippet have?
Page 1
Answer
Ingen løsning, en entydig løsning eller uendelige mange.
5
Question
Hvordan undersøger man om Ax = b har løsninger og finder dem?
Page 1
Answer
Gauss-elimination på totalmatricen.
6
Question
Hvad er totalmatricen tilknyttet Ax = b?
Page 1
Answer
Den augmenterede matrix [A | b] med koefficienter og højreside side om side.
7
Question
Hvilke elementære rækkeoperationer findes der?
Page 1
Answer
Byt to rækker om, multiplicer en række med ikke-nul skalar, tilføj multiplum af en række til en anden.
8
Question
Hvad er en trappeform og hvad er specielt ved reduceret trappeform?
Page 1
Answer
Trappeform: nuller under pivot, reduceret: også over pivot og pivots =1.
9
Question
Hvordan aflæser man fra trappeform af totalmatricen om systemet er løseligt, antal løsninger, fri variabel og bestemmer løsninger?
Page 1
Answer
Løseligt hvis ingen kontradiktion (eks. 0 = 1), fri variabel hvis ikke pivot, løsninger ved back-substitution.
10
Question
Hvordan er den transponerede matrix $A^T$ defineret?
Page 1
Answer
$A^T$ har rækker som søjler i A og vice versa.
11
Question
Hvad er $(AB)^T$ og $(A + B)^T$?
Page 1
Answer
$(AB)^T = B^T A^T$, $(A + B)^T = A^T + B^T$.
12
Question
Hvad er en inverterbar matrix?
Page 1
Answer
En kvadratisk matrix A med invers $A^{-1}$ så $A A^{-1} = A^{-1} A = I$.
13
Question
Er AB inverterbar hvis A og B er inverterbare n×n-matricer?
Page 1
Answer
Ja, $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
14
Question
Er $A^T$ inverterbar hvis A er inverterbar n×n-matrix?
Page 1
Answer
Ja, $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.
15
Question
Hvad er en symmetrisk matrix?
Page 2
Answer
Matrix S, hvor $S = S^T$.
16
Question
Hvis A er inverterbar og Ax = 0, hvad er x?
Page 2
Answer
x = 0.
17
Question
Hvad er løsningen til Ax = b hvis A er inverterbar?
Page 2
Answer
x = $A^{-1}$ b.
18
Question
Hvordan finder man om n×n-matrix A er inverterbar og udregner $A^{-1}$?
Page 2
Answer
Gauss-elimination på [A | I], inverterbar iff reduceret til [I | B], da $A^{-1} = B$.
19
Question
Kan determinanter bruges til at tjekke om n×n-matrix A er inverterbar?
Page 2
Answer
Ja, A inverterbar iff $\det(A) \neq 0$.
20
Question
Hvordan udregner man determinanter af 2×2 og 3×3-matricer?
Page 2
Answer
2×2: ad - bc. 3×3: kofaktorudvidelse.
21
Question
Hvad betyder kofaktorudvidelse?
Page 2
Answer
Udvid $\det(A)$ langs række/søjle: sum $a_{ij} C_{ij}$.
22
Question
Hvad sker med $\det(A)$ ved byte af to søjler eller rækker?
Page 2
Answer
$\det(A)$ skifter fortegn.
23
Question
Hvad sker med $\det(A)$ ved tilføjelse af multiplum af en søjle til en anden (eller rækker)?
Page 2
Answer
Determinanten ændrer ikke værdi.
24
Question
Hvad er $\det(A^J)$ og $\det(AB)$?
Page 2
Answer
$\det(A^J) = \det(A)$, $\det(AB) = \det(A) \det(B)$.
25
Question
Hvad er $\det(A^{-1})$ hvis A er inverterbar?
Page 2
Answer
$\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)$ da $\det(I) = \det(A^{-1} A) = \det(A^{-1}) \det(A) = 1$.
26
Question
Vis at hvis S er symmetrisk og inverterbar, er $S^{-1}$ symmetrisk.
Page 2
Answer
Brug $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$, sæt A = S, da S = S^T.
27
Question
Hvad er en ortogonal matrix U?
Page 2
Answer
Kvadratisk inverterbar med $U^{-1} = U^T$ (eller $U^T U = I$).
28
Question
Er produktet af to ortogonale n×n-matricer ortogonal?
Page 2
Answer
Ja, $(U_1 U_2)^T U_1 U_2 = U_2^T U_1^T U_1 U_2 = U_2^T I U_2 = I$.
29
Question
Hvad er en linearkombination af vektorerne v1, ..., vk?
Page 2
Answer
$c_1 v_1 + \dots + c_k v_k$ med $c_i \in \mathbb{R}$.
30
Question
Hvad er $\operatorname{span}\{v_1, \dots, v_k\}$?
Page 2
Answer
Mængden af alle linearkombinationer af v1,...,vk.