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Normes et Espaces Vectoriels
Study
1
Question
Quelle est la définition d'une norme sur un espace vectoriel E ?
Answer
Une application ||.|| : E → ℝ⁺ telle que séparation, homogénéité et inégalité triangulaire.
2
Question
Quelle est la propriété de séparation pour une norme ?
Answer
∀x ∈ E, ||x|| = 0 ⇔ x = 0.
3
Question
Quelle est la propriété d'homogénéité d'une norme ?
Answer
∀x ∈ E, ∀α ∈ K, ||α · x|| = |α| · ||x||.
4
Question
Quelle est l'inégalité triangulaire pour une norme ?
Answer
∀x, y ∈ E, ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
5
Question
Qu'est-ce qu'un espace vectoriel normé ?
Answer
(E, ||.||) où ||.|| est une norme sur E.
6
Question
Quand une norme est-elle sous-multiplicative ?
Answer
∀x, y ∈ E, ||xy|| ≤ ||x|| ||y||, si E est une K-algèbre.
7
Question
Quelle est la définition d'une norme d'algèbre ?
Answer
Sous-multiplicative et ||1_E|| = 1.
8
Question
Quelle est la seconde inégalité triangulaire ?
Answer
∀x, y ∈ E, |||x|| - ||y||| ≤ ||x - y||.
9
Question
Quelle est la distance associée à une norme ?
Answer
d(x, y) = ||x - y||.
10
Question
Quelle est la distance de x à un ensemble A ?
Answer
d(x, A) = inf {d(x, y) | y ∈ A}.
11
Question
Quelle est la propriété des distances à un ensemble ?
Answer
∀x, y ∈ E, |d(x, A) - d(y, A)| ≤ d(x, y).
12
Question
Quand deux normes N1 et N2 sont-elles équivalentes ?
Answer
∃α, β > 0 tels que α N2(x) ≤ N1(x) ≤ β N2(x) ∀x ∈ E.
13
Question
Quelle est la relation d'équivalence pour les normes ?
Answer
N1 ∼ N2 si elles sont équivalentes.
14
Question
Quelle est la première assertion équivalente pour les normes équivalentes ?
Answer
N1 ∼ N2.
15
Question
Quelle est la seconde assertion pour les normes équivalentes ?
Answer
Les ensembles {N1(x)/N2(x) | x ≠ 0} et {N2(x)/N1(x) | x ≠ 0} sont majorés.
16
Question
Quelle est la troisième assertion pour les normes équivalentes ?
Answer
Toute suite convergente pour une norme converge pour l'autre vers la même limite.
17
Question
Comment montrer que deux normes ne sont pas équivalentes ?
Answer
Trouver une suite (xn) ≠ 0 telle que lim N2(xn)/N1(xn) = +∞ ou 0.
18
Question
Quel est le théorème de Riesz ?
Answer
Dans un EVN de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
19
Question
Quelle est la définition d'une boule ouverte B(a, r) ?
Answer
{x ∈ E | ||x - a|| < r}.
20
Question
Quelle est la définition d'une boule fermée B_f(a, r) ?
Answer
{x ∈ E | ||x - a|| ≤ r}.
21
Question
Quelle est la définition d'une sphère S(a, r) ?
Answer
{x ∈ E | ||x - a|| = r}.
22
Question
Quelles sont les boules et sphère unités ?
Answer
B(0,1), B_f(0,1), S(0,1).
23
Question
Les boules d'un EVN sont-elles convexes ?
Answer
Oui, les boules de E sont convexes.
24
Question
Quelle est la définition d'une partie bornée ?
Answer
∃k ≥ 0 tel que ∀x ∈ A, ||x|| ≤ k, ou A ⊂ B_f(0,k).
25
Question
Quelle est la définition d'une fonction bornée f : X → E ?
Answer
f(X) est bornée, ou ∃k ≥ 0, ∀x ∈ X, ||f(x)||_E ≤ k.
26
Question
Quelle est la définition d'une suite bornée ?
Answer
∃M > 0, ∀n ∈ ℕ, ||u_n|| ≤ M.
27
Question
Quelle est la définition d'une suite convergente ?
Answer
∃ℓ ∈ E tel que ||u_n - ℓ|| → 0 quand n → ∞.
28
Question
La limite d'une suite est-elle unique ?
Answer
Oui, ℓ est unique.
29
Question
Qu'est-ce qu'une suite divergente ?
Answer
Une suite non convergente.
30
Question
Quelle est la propriété de domination pour la convergence ?
Answer
(u_n) → ℓ iff ∃(ε_n) > 0, ε_n → 0, tel que ||u_n - ℓ|| ≤ ε_n ∀n.